Обратите внимание!

В левом столбце печатного материала находятся:

• теоретические материалы;

• формулировки заданий и место для записи ответа на задания.

В правом столбце печатного материала находятся:

• графические иллюстрации к теоретическому материалу;

• заготовки рисунков для выполнения задания;

• или место для выполнения рисунка, если это есть в задании.

В материале разобраны пять задач и ещё пять задач предложено решить прямо в материале (для этого есть заготовки). Ниже приведены ссылки на разобранные решения задач:

задача 1, задача 2, задача 3, задача 4, задача 5.

В первом действии используем условие, что АС - биссектриса угла А и воспользуемся определением биссектрисы, сделаем вывод, что углы ВАС и DAC равны:

Во втором действии объединим три условия, необходимые для использования первого признака равенства треугольников (необходимо соответственное равенство двух сторон и угла между ними у обоих треугольников):

,

после чего сделаем вывод о равенстве треугольников ВАС и DAC по первому признаку равенства треугольников. Обязательно отметим это в доказательстве:

.

Для доказательства соберём все  условия в задаче, необходимые для использования первого признака равенства треугольников:

.

Этих условий достаточно, чтобы сделать вывод, что треугольники АВС и ADC равны по первому признаку равенства треугольников. Обязательно отметим это в доказательстве:

После завершённого доказательства напишем слово "Решение:"

В решении используем доказанный факт равенства треугольников АВС и ADC и условие, что углы ВАС и DCA равны:

.

Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то ВС = AD. Обязательно отметим этот факт в решении:

.

В первом действии используем условие, что треугольник равнобедренный, АС - его основание:

.

Отсюда по определению равнобедренного треугольника сделаем вывод, что две другие стороны (АВ и ВС) равны:

Во втором действии используем условие, что АС в 2 раза меньше боковой стороны и выразим боковую сторону АВ через основание АС:

В третьем действии используем факт, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

Так как периметр по условию равен 50 см, а АВ = ВС (п. 1), то подставим в первое равенство вместо Р_АВС - 50, а вместо ВС - АВ и запишем:

Если АВ = 2АС, то вместо АВ подставим 2АС:

.

После этого решим получившееся уравнение:

В четвёртом действии найдём АВ = ВС из условия, что АВ = 2АС:

В первом действии используем условие, отражённое на рисунке, что углы 1 и ВСА - смежные, а, следовательно, их сумма равна 180º по свойству смежных углов:

Подставим вместо угла 1 его градусную меру (143º) и найдём угол ВСА:

Во втором действии используем условие, что ВС = АВ и по определению равнобедренного треугольника сделаем вывод, что треугольник АВС - равнобедренный, АС - его основание:

,

откуда сделаем вывод, что углы ВСА и ВАС равны (по свойству углов при основании равнобедренного треугольника):

В третьем действии используем условие, что углы ВАС и 2 - вертикальные, а, следовательно, они равны:

После решения запишем Ответ на поставленный в задаче вопрос:

В первом действии используем условие, что треугольник АВС - равнобедренный с основанием ВС. Откуда сделаем вывод, что углы В и С - равны по свойству равнобедренного треугольника:

Во втором действии рассмотрим треугольники ВАК и САМ -

Перечислим всё, что нам про них известно: АВ = АС (по определению, как боковые стороны равнобедренного треугольника), ВК = МС (по условию задачи), углы В и С равны (доказано в п. 1):

.

Этих условий достаточно, чтобы воспользоваться первым признаком равенства треугольников:

     Доказан первый факт.

В третьем действии используем доказанное равенство треугольников ВАК и САМ (из п. 2) и равенство углов В и С (из п. 1):

,

так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то АК = АМ:

,

а если АК = АМ, то треугольник АКМ - равнобедренный по определению равнобедренного треугольника:

     Доказан второй факт.