СООТНОШЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ И ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ (МАТЕРИАЛ ДЛЯ 7 КЛАССА).

Десятичная система счисления – это позиционная система счисления, в которой используется десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и в которой значение цифры зависит от её позиции в числе. Говорят, что цифра в числе имеет определённый «вес».

Так как цифр всего десять, то говорят, что основание десятичной системы – число 10.

Для примера возьмём число 1234. Чтобы определить вес каждой цифры, разложим это число по разрядам:

1234 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4.

1000 = 10 × 10 × 10. Это очень удобно записать так: 10³ (10 в третьей степени). Тогда 100 можно представить как 10², 10 = 10¹.

Получается, что у самого старшего разряда в этом числе «вес» равен 3, а «вес» каждого следующего более младшего разряда уменьшается на 1.

Остаётся цифра 4. Множителя 10 рядом с этой цифрой не видно, но если вес 10 уменьшить ещё на 1, получится запись 10⁰, т.е. разряд единиц имеет нулевой вес. Получается, что

 1234 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 3 × 10¹ + 4 × 10⁰.

Задание 1. Определите вес каждой цифры в числах 567, 45263, 30401.

Задание 2. Какое десятичное число записано:

а) 8 × 10⁵ + 3 × 10⁴ + 2 × 10³ + 7 × 10² + 6 × 10¹ + 3 × 10⁰.

б) 2 × 10⁴ + 1 × 10² + 7 × 10⁰.

Теперь попробуем разобраться с двоичными числами. В двоичной системе значение цифры также зависит от её позиции в числе – двоичная система тоже позиционная и каждая цифра имеет свой вес – от 0 и выше. Используется всего две цифры – 1 и 0, значит, основание системы – число 2.

Рассмотрим для примера число 1111 в двоичной системой. Чтобы отличить 1111 десятичное от 1111 двоичного справа внизу ставят индекс – 10 или 2: 1111₁₀ и 1111₂.

Представим 1111₂ в развёрнутой форме, только теперь вместо числа 10 подставим основание двоичной системы – число 2:

1111₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰.

Но цифра 2 не принадлежит двоичной системе, зато она есть в десятичной. Попробуем выполнить те действия, которые мы только что записали:

1111₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 1 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 = 15₁₀.

Число 15 – это десятичное число, поэтому его записали так: 15₁₀.

А теперь заглянем в Таблицу соответствия десятичной и двоичной систем счисления:

По этой таблице двоичному числу 1111 соответствует десятичное число 15.

Вывод 1: двоичное число можно также представить в развёрнутой форме, только вместо 10 (основания десятичной системы) надо подставить 2 (основание двоичной системы). «Вес» цифры проставляется также как и для десятичного числа – самый младший разряд имеет вес 0, вес каждого следующего разряда больше на 1.

Вывод 2:  мы вывели правило, по которому можно любое двоичное число перевести в десятичное.

Задание 3. Определите вес каждой цифры в числах 101₂, 11001₂, 10010₂.

Задание 4. Какое двоичное число записано:

а) 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰.

б) 1 × 2⁴ + 1 × 2² + 1 × 2⁰.

Задание 5. Переведите в десятичную систему числа: а) 1100010₂; б) 1010111₂; в) 11001101₂.