ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ДВОИЧНОЕ МЕТОДОМ ПОДБОРА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛА 2

Пусть нам надо перевести число 115₁₀ в двоичную систему. Воспользуемся методом деления на новое основание 2:

Попробуем совершить обратное действие:

Получается, что самая старшая цифра (1) умножается на 2⁶, следующая - на 2⁵, дальше - на 2⁴ и т.д.

Получаем такую сумму:

1 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰.

Если выполнить каждое умножение, то получится такая сумма:

64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1.

Если всё это сложить, то получится число 115₁₀.

Т.е., для того, чтобы число 115 перевести в двоичное число, не обязательно пользоваться методом деления на новое основание 2, можно разложить число 115 по степеням числа 2 (рассуждения примерно такие: ближайшая степень 2 к 115 - 64, тогда остаётся 51, к нему ближайшая степень 32, тогда остаётся 19. К 19 ближайшая степень - 16, тогда остаётся 3, а 3 = 2 + 1):

115₁₀ = 64 + 32 + 16 + 2 + 1 = 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰.

Замечаем, что у нас представлены 6, 5, 4, 1 и 0 степени, но не хватает 3 и 2. Те степени, которые присутствуют, заменяем 1, которые отсутствуют, заменяем 0:

115₁₀ = 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 1110011₂.

Результат совпал с методом деления на новое основание.

ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ДВОИЧНОЕ МЕТОДОМ ПОДБОРА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛА 2:

Исходное десятичное число представляют в виде суммы степеней числа 2, в этой сумме слагаемые выстраивают от большего к меньшему. Затем те степени двойки, которые имеются, заменяются 1, а те, которых нет - 0.

Справочная таблица:

Пример. Найдите двоичный код буквы П.

1. По кодовой таблице найдём десятичный код буквы П - 207;

2. 207₁₀ = 128 + 64 + 8 + 4 + 2 + 1 = (2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰) = 11001111₂.

Действие в скобках можно не записывать.

Таким же способом можно переводить десятичное число в любую другую систему, но это процесс очень трудоёмкий и связан с трудностями подбора коэффициентов. Например, попробуем представить хотя бы 55₁₀ в троичной системе этим же способом:

55₁₀ = 27 + 28 = 27 + 18 + 9 + 1 = 1  · 3³ + 2  · 3² + 1  · 3² + 1  · 3⁰.

Но такое разложение НЕВЕРНО (подумайте, почему).

Верным разложением будет такое:  55₁₀ = 2 · 27 + 1 = 2  · 3³ + 1  · 3⁰ = 2001₃.

С такими трудностями встречаемся уже при переводе не очень большого числа в троичную систему, в которой цифр всего три (0, 1, 2). А если цифр больше?