Основные понятия

(в начале - теория, которая применяется при решении задач.

Рассмотрено три примера, две задачи предложено для самостоятельного решения)

Презентация

Пояснение к Примеру №1:

а) Т.к. векторы сонаправлены, то по Лемме коэффициент k > 0 и равен отношению длин векторов.

б) Т.к. векторы противоположно направлены, то по Лемме коэффициент k < 0 и противоположен отношению длин векторов.

При решении данной задачи выполнять рисунок не надо.

Общий вид решения Примера 1:

Пояснения к Примеру №2.

а) По условию задачи и по рисунку данные векторы противоположно направлены, а, следовательно, коллинеарны. Тогда по Лемме k < 0 и противоположно отношению длин этих векторов. Т.к. длины векторов равны (по свойству параллелограмма), то k = -1;

б) По рисунку мы видим, что данные векторы неколлинеарны, следовательно, невозможно применить Лемму и найти число k;

в) По рисунку данные векторы сонаправлены, а, следовательно,  коллинеарны. Тогда по Лемме k > 0 и равно отношению длин этих векторов. Т.к. по свойству параллелограмма длина отрезка ОС равна половине длины диагонали АС, то k = 1/2.

При решении данной задачи: выполнен рисунок, на рисунке отмечены все указанные в условии векторы (с помощью стрелок).

Общий вид решения задачи:

Пояснения к Примеру №3.

1) По условию MKEF - параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны равны и параллельны;

Далее, из условия FT : TK = 3 : 1 следует, что длина отрезка FT = 3/4FK (отношение 3 : 1 считаем как отношение трёх "частей" к одной "части", тогда всего получается четыре "части" приходится на отрезок FK);

2) Этим действием мы получаем пары подобных треугольников (доказательство подобия треугольников следует в действии 3)).

3) Доказываем подобие двух треугольников (по первому признаку подобия треугольников - по двум соответственно равным углам).

Из подобия треугольников следует равенство отношений сходственных сторон.

Тогда получается, что отношение длин векторов FH и m равно 3/4.

Аналогично (можно уже не доказывать подобие треугольников FTC и FKE) получаем, что отношение длин векторов FC и n также равно 3/4;

4) Применяем правило параллелограмма для получения вектора FT. Далее, подставляем полученные выражения для векторов FH и FC и получаем искомое разложение.

При решении задачи: не надо делать два рисунка. Все дополнительные построения и обозначения выполняются на одном рисунке.

Общий вид решения задачи: