Раздаточный материал   

  (представлена краткая теория, рассмотрены примеры решения задач. Пример 1. Пример 2. Пример 3. Пример 4. Пример 5).

Пример 1. Пояснения к Примеру 1

1) Зная площадь квадрата, по свойству площади квадрата найдём сторону квадрата, как квадратный корень из значения площади. Так как радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата, найдём этот радиус;

2) По формуле длины окружности найдём длину вписанной окружности;

3) Окружность, вписанная в квадрат, точками касания делится на 4 равные части, поэтому, чтобы найти длину дуги между соседними точками касания достаточно найденную длину окружности разделить на 4;

4) Площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности - это разность между площадью квадрата и площадью вписанного круга.

NB. Если не сказано специально, то при решении задач на длину окружности и площадь круга значение числа пи не подставляют, оставляют его обозначение как множитель.

Пример 2. Пояснения к Примеру 2

1) Данная задача - пример задачи, решаемой в общем виде, когда все необходимые величины выражают через заданную величину.

В данном случае задана площадь правильного треугольника, следовательно, все величины надо выразить через эту площадь.

Для этого воспользуемся формулами для правильных многоугольников (площади, стороны, радиуса вписанной окружности). Результат - полученное выражение для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, через площадь этого треугольника;

2) По формуле длины окружности выразим длину вписанной окружности через заданную площадь треугольника;

3) Так как треугольник правильный, то вписанная окружность делится точками касания на три равные части. Поэтому, чтобы найти длину дуги между соседними точками касания, достаточно длину этой окружности разделить на 3;

4) Площадь части треугольника, лежащей вне окружности вычислим как разность площади треугольника и площади вписанного круга.

Пример 3. Пояснения к Примеру 3

1) Пользуясь формулой длины дуги, подставим в неё значение радиуса и длины окружности, найдём центральный угол, которому эта дуга соответствует;

2) В формулу площади кругового сектора подставляем заданное значение центрального угла и находим эту площадь.

Пример 4. Пояснения к Примеру 4

1) Подставим в формулу площади кругового сектора заданные значения площади и радиуса окружности. Найдём значение соответствующего центрального угла.

2) Хорда, длину которой надо найти, является основанием равнобедренного (т.к. две другие стороны - радиусы окружности) треугольника, лежащим против найденного центрального угла.

Поэтому для нахождения длины хорды воспользуемся теоремой косинусов. Не забываем учесть, что найденный угол является тупым, а, следовательно, косинус этого угла - число отрицательное. Пояснения см. здесь.

Пример 5. Пояснения к Примеру 5

1) Так как заданный треугольник является прямоугольным, то длину гипотенузы АВ  найдём по теореме Пифагора.

Известно, что в прямоугольном треугольнике катет является средним геометрическим между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Проекция катета на гипотенузу получается с помощью перпендикуляра (т.е. высоты), опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. Отсюда найдём отрезок ВН;

2) Так как высота проведена к гипотенузе, то данный прямоугольный треугольник разделится на два прямоугольных треугольника. Высоту СН найдём по теореме Пифагора;

3) По формуле длины окружности через диаметр окружности найдём длину окружности с диаметром СН.