11

Повторение курса 7 класса Четырёхугольники Параллелограмм и его свойства Трапеция Площади Теорема Пифагора Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников Пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника Окружность. Касательная к окружности Центральные и вписанные углы Четыре замечательные точки треугольника Вписанная и описанная окружности

"Центральные и вписанные углы".

После изучения этой темы:

Познакомитесь с понятиями центрального и вписанного угла;
Узнаете, как найти их градусную меру;
Познакомитесь с теоремой о пересекающихся хордах окружности;
Научитесь решать задачи.

Перед началом обучения обязательно распечатайте материал для работы (нажмите на изображение ниже):

Дополнительные материалы: "Центральные и вписанные углы" (презентация)

Обратите внимание! В левом столбце печатного материала находятся: теоретические материалы; краткие обозначения к теории. В правом столбце печатного материала находятся: графические иллюстрации к теоретическому материалу. Материал содержит пять разобранных задач и восемь задач предложено решить самостоятельно.
Печатный материал содержит три страницы, которые выглядят так:

Пример 1. По данным рисунка докажите найдите х.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"
В первом действии используем условие, что угол MSN - вписанный, следовательно, по теореме о вписанном угле дуга MN в 2 раза больше этого угла:
Во втором действии сделаем вывод, что дуга SM - полуокружность, следовательно, равна 180 градусам:
В третьем действии т.к. вся окружность составляет 360 градусов, следовательно, сумма всех дуг, на которые делят окружность точки S, M, N равна 360 градусам. Подставим в получившееся равенство известные значения и вычислим величину дуги SN:
Осталось написать к задаче ответ:

Пример 2. По данным рисунка докажите найдите х.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"
В первом действии используем условие, что вся окружность составляет 360 градусов, запишем сумму дуг, отсекаемых точками M, K, N, подставим данные значения и вычислим величину дуги МК:
Во втором действии воспользуемся теоремой о вписанном угле - вписанный угол MNK равен половине дуги МК, на которую он опирается:
Осталось написать к задаче ответ:

Пример 3. По данным рисунка найдите дугу ВСК.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"
В первом действии воспользуемся следствием из теоремы о вписанном угле (углы АКВ и АСВ опираются на одну дугу АВ):
Во втором действии из того, что АС - диаметр, сделаем вывод, что дуга АКС - полуокружность, следовательно, угол АВС - прямой (по 2 следствию из теоремы о вписанном угле). Тогда - треугольник АВС - прямоугольный, в котором сумма острых углов 2 и С составляет 90 градусов (по свойству прямоугольного треугольника). Вычислим угол 2:
В третьем действии т.к. углы 1 и 2 равны, то можно найти угол ВАК, т.к. он равен их сумме: В четвёртом действии по теореме о вписанном угле найдём величину дуги ВСК (она в два раза больше угла ВАК):
Осталось написать к задаче ответ:

Пример 4. По данным рисунка найдите углы ВАD и BDA, если дуга BD равна 110 градусам.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"
В первом действии проведём хорды ВК и BD, радиус ОВ (второй рисунок рисовать не нужно, просто выполните дополнительные построения на исходном рисунке):
Во втором действии из того, что угол BKD - вписанный, по теореме о вписанном угле зная дугу BD найдём этот угол (он равен половине дуги BD):
В третьем действии т.к. DK - диаметр, следовательно, угол DBK - прямой (по Следствию 2 из теоремы о вписанном угле), тогда сумма двух острых углов прямоугольного треугольника DBK составляет 90 градусов, откуда можно вычислить угол BDK, который совпадает с углов BDA: В четвёртом действии найдём дугу ВК (она в 2 раза больше вписанного угла BDK по теореме о вписанном угле) и сделаем вывод, что угол ВОК равен дуге ВК (как центральный угол, опирающийся на эту дугу): В пятом действии, т.к. АВ - касательная к окружности, то радиус ОВ перпендикулярен АВ (по свойству касательной), следовательно, треугольник ОВА - прямоугольный. Тогда по сумме острых углов прямоугольного треугольника найдём угол ВАО, а затем угол BAD, так как они совпадают:
Осталось написать к задаче ответ:

Пример 5. По данным рисунка найдите CN и ND, если CD = 24 см, AN = 16 см, NB = 9 cм.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"
В первом действии выразим отрезок хорды DN через CD и CN:
Во втором действии воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах, подставив вместо ND выражение, найденное в первом действии, найдём CN:
В третьем действии вычислим DN:
Осталось написать к задаче ответ:

ВЕРНУТЬСЯ НАВЕРХ ВЕРНУТЬСЯ К ПРИМЕРУ 1 ВЕРНУТЬСЯ К ПРИМЕРУ 2 ВЕРНУТЬСЯ К ПРИМЕРУ 3 ВЕРНУТЬСЯ К ПРИМЕРУ 4 ВЕРНУТЬСЯ К ПРИМЕРУ 5 ПЕЧАТЬ МАТЕРИАЛА

©Материал подготовлен учителем математики Максимовской Мариной Алексеевной