Обратите внимание!

В левом столбце печатного материала находятся:

• теоретические материалы;

В правом столбце печатного материала находятся:

• графические иллюстрации к теоретическому материалу;

• краткая запись теоретического положения.

Материал содержит 4 разобранных задачи, 10 задач предлагается для самостоятельного решения

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии используем условие, что АBСD - параллелограмм, следовательно BC параллельна AD (по определению параллелограмма):

Далее используем свойство параллельных прямых BC и AD, пересечённых секущей AK - накрест лежащие углы KAD и BKA равны:

,

Во втором действии используем условие, что углы KAD и BKA равны (из 1)) и углы KAD и BAK равны (по условию):

,

Из равенства углов BKA и ВАК следует, что треугольник АВК - равнобедренный с основанием АК, по признаку равнобедренного треугольника:

,

откуда следует, что стороны АВ и ВК равны:

В третьем действии находим сторону ВС из условия, что ВС = ВК + КС:

,

В четвёртом действии, из условия, что ABCD - параллелограмм и противоположные стороны параллелограмма равны (по свойству параллелограмма), выведем формулу для вычисления периметра и вычислим его:

В пятом действии воспользуемся условием, что АК - биссектриса угла А (углы KAD и BAK - равны) и свойством параллелограмма, что противоположные углы равны (угол А равен углу С):

.

В шестом действии можно воспользоваться тем, что сумма углов параллелограмма равна 360^о, противоположные углы (углы B и D) равны:

или свойством односторонних углов параллелограмма:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Доказательство:"

В первом действии используем условие, что АBСD - параллелограмм, следовательно BC параллельна AD (по определению параллелограмма) и ВС = AD (по свойству параллелограмма):

Во втором действии используем полученный вывод (ВС параллельна AD) и получим, что EC параллельна AF (т.к. они лежат на сторонах ВС и AD соответственно:

В третьем действии используем равенство сторон AD и ВС (по свойству параллелограмма), равенство отрезков BE и FD (по условию) и сделаем вывод, что ЕС = AF:

,

В четвёртом действии соберём то, что относится к первому признаку параллелограмма (две стороны четырёхугольника параллельны и равны), и докажем, что AECF - параллелограмм:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии используем условие, что АBСD - прямоугольник, следовательно, все углы у него прямые и диагонали AC и BD равны (по определению и свойству прямоугольника):

Во втором действии свойством катета прямоугольного треугольника ACD, лежащего против угла CAD = 30^о (он равен половине гипотенузы АС):

,

В третьем действии воспользуемся равенством противоположных сторон прямоугольника:

,

В четвёртом действии воспользуемся свойством равенства диагоналей прямоугольника и тем, что диагонали параллелограмма точкой пересечения диагоналей делится пополам:

В пятом действии найдём периметр треугольника АОВ:

.

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии используем условие, что АBСD - ромб, следовательно BD перпендикулярна AС (по свойству ромба), тогда угол 3 - прямой:

Во втором действии воспользуемся равенством противоположных углов параллелограмма (угол А равен углу С) и тем, что АС - биссектриса углов А и С (свойство ромба). Найдём угол 2:

,

В третьем действии из свойства односторонних углов параллелограмма найдём угол В:

,

В четвёртом действии по свойству ромба (диагональ BD - биссектриса угла В) найдём угол 1: