Обратите внимание!

В левом столбце печатного материала находятся:

• теоретические материалы;

• краткая запись некоторых теоретических фактов.

В правом столбце печатного материала находятся:

• графические иллюстрации к теоретическому материалу;

• некоторые обозначения для краткой записи теоретических фактов.

Материал содержит 7 разобранных задач и 16 задач предложено решить самостоятельно.

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Доказательство:"

В первом действии отметим, что биссектриса делит треугольник АВС на два треугольника:

Во втором действии построим ВН - общую высоту этих треугольников, следовательно, по свойству площадей треугольников, имеющих равную высоту, отношение площадей таких треугольников равно отношению основанию этих треугольников:

Ссылка на материал "Площади" (см. стр. 3)

В третьем действии воспользуемся свойством площадей треугольников, имеющих равные углы - отношение площадей таких треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы:

Ссылка на материал "Площади" (см. стр. 3)

В четвёртом действии объединим выводы, полученные во 2 и в 3 действиях, а затем воспользуемся основным свойством пропорции - можно поменять местами средние члены пропорции, после чего получим вывод, что отношения отрезка AD к АВ равно отношению отрезка DC к ВС, т.к. отрезки являются пропорциональными по определению пропорциональных отрезков:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии воспользуемся свойством подобных треугольников, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия треугольников, и найдём этот коэффициент:

Во втором действии зная, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия, подставим в это отношение значение коэффициента и длину известной стороны А₁В₁ и найдём длину стороны АВ:

Осталось написать ответ к задаче:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии из условия, что ABCD - трапеция, ВС и AD - её основания, сделаем вывод, что ВС параллельна AD (по определению трапеции):

Во втором действии рассмотрим параллельные прямые BC и AD и секущую АС, откуда следует (по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей), что углы ВСО и OAD равны:

В третьем действии отметим, что углы ВОС и AOD равны как вертикальные:

В четвёртом действии докажем, что треугольники ВОС и AOD подобны по 1 признаку подобия треугольников (по двум соответственно равным углам), а, следовательно, отношение сходственных сторон ВО и OD равно коэффициенту подобия:

В пятом действии, зная, что треугольники ВОС и AOD подобны и отношение двух их сходственных сторон ВС и AD также равно коэффициенту подобия, подставим в это отношение длину основания AD и получим длину стороны ВС:

Осталось написать ответ к задаче:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Доказательство:"

В первом действии, зная АВ и АМ, найдём длину МВ:

Во втором действии зная, что угол В общий угол треугольников BMN и АВС, найдём отношение сходственных сторон и убедившись, что они равны, докажем, что треугольники BMN и АВС подобны по 2 признаку подобия:

В третьем действии зная, что треугольники BMN и АВС подобны, сделаем вывод, что соответственные углы BMN и ВАС равны:

В четвёртом действии докажем параллельность прямых MN и АС по второму признаку параллельности прямых (при пересечении двух прямых MN и АС секущей АВ соответственные углы равны):

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии из условия, что М и N - середины сторон АВ и АС соответственно, сделаем вывод, что MN - средняя линия треугольника АВС, а, следовательно, MN равна половине ВС:

Во втором действии аналогично первому действию получим, что МК - половина АС и KN - половина АВ:

В третьем действии сначала в общем виде запишем периметр треугольника MNK, как сумму сторон MN, NK и MK, затем подставим вместо этих сторон выражения, полученные в первом и втором действии, вынесем общий множитель 1/2 и увидим, что внутри сумма длин сторон АВ, ВС и АС, т.к. - периметр треугольника АВС. Таким образом, периметр треугольника АВС в два раза больше периметра треугольника MNK. Дальше просто подставим в полученное равенство значение периметра треугольника MNK и получим периметр треугольника АВС:

Осталось написать ответ к задаче:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Доказательство:"

В первом действии проведём диагональ BD, т.к. N и Р - середины сторон ВС и CD соответственно, следовательно, NP - средняя линия треугольника BCD, откуда по свойству средней линии треугольника сделаем вывод, что отрезок NP параллелен BD и равен его половине:

Во втором действии т.к. М - середина ВА, а К - середина AD, то МК - средняя линия треугольника ABD, а, следовательно, отрезок МК параллелен BD и равен его половине:

В третьем действии покажем, что NP и MK равны, так как равны половине BD:

В четвёртом действии покажем, что NP и MK параллельны, так как оба параллельны BD:

В пятом действии объединим выводы, полученные в третьем и четвёртом действии, докажем, что MNPK - параллелограмм по 1 признаку параллелограмма:

Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.

С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.

Под условием и рисунком запишем слово "Решение:"

В первом действии из условия, что медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О сделаем вывод, что отношение АО к ОА1 равно отношению ВО к ОВ1 и равно 2 : 1 (по свойству медиан треугольника):

Во втором действии проведём медиану СС1. По свойству медиан треугольника она пройдёт через точку О, и также отношение СО к ОС1 будет равно 2 : 1:

В третьем действии СН параллельно стороне АВ:

В четвёртом действии проведём отрезок НН1 перпендикулярно АВ через точку О. НН1 будет перпендикулярен и прямой СН, т.к. СН параллельна АВ по построению. Тогда (по определению расстояния между параллельными прямыми) НН1 - расстояние между прямыми СН и АВ, а также будет расстоянием между точкой С и прямой АВ, т.е. высотой треугольника АВС, проведённой к стороне АВ:

В пятом действии зная, что ОН1 перпендикулярен АВ, сделаем вывод, что ОН1 - высота треугольника АВО:

В шестом действии, применив для каждого треугольника АВС и АВО формулу площади треугольника, найдём отношение их площадей, сократим дробь на общие множители 1/2 и АВ и получим, что отношение площадей треугольников АВС и АВО равно отношению их высот НН1 и ОН:

В седьмом действии рассмотрим прямоугольные треугольники ОСН и ОС1Н1 и докажем их подобие по 1 признаку подобия. Далее, зная, что отношение сходственных сторон СО и ОС1 равно 2 : 1, получаем, что отношение НО к ОН1 тоже равно 2 : 1, а следовательно, весь отрезок НН1 в три раза больше отрезка ОН1:

В восьмом действии подставим в отношение, полученное в 6 действии, вместо НН1 выражение 3ОН1, сократим дробь на общий множитель ОН1 и получим, что площадь треугольника АВС в три раза больше площади треугольника АВО, после чего найдём площадь треугольника АВС:

Осталось написать ответ к задаче: